如何计算一个正八边形的面积？-历史上的今天

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如何计算一个正八边形的面积？？

2025-06-02 14:17:00

正八边形面积该怎么计算呢？下面为你介绍几种常见方法：方法一：分割成多个三角形计算把正八边形从

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正八边形面积该怎么计算呢？下面为你介绍几种常见方法：

方法一：分割成多个三角形计算

把正八边形从中心向各个顶点连线，可将其分割成8个全等的等腰三角形。设正八边形的边长为a，先求等腰三角形的高h。通过三角函数可得到h的值，以其中一个等腰三角形为例，等腰三角形的顶角为360°÷8=45°，那么半顶角为22.5°。根据三角函数关系， $h=\frac{a}{2}\tan67.5^{\circ}$ 。一个等腰三角形的面积 $S_1=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}a\times\frac{a}{2}\tan67.5^{\circ}$ 。正八边形面积 $S=8S_1=2a^{2}\tan67.5^{\circ}$ 。

方法二：利用外接正方形计算

假设正八边形边长为a。可以把正八边形放在一个正方形中，这个正方形的四个角各去掉一个等腰直角三角形就得到正八边形。等腰直角三角形的直角边长度为x，根据正八边形边长与直角边的关系可得 $a=\sqrt{2}x$ ，即 $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ 。正方形边长 $L=a+2x=a+\sqrt{2}a$ 。正方形面积 $S_{正方形}=L^{2}=(a+\sqrt{2}a)^{2}$ 。四个等腰直角三角形面积和 $S_{三角形}=4\times\frac{1}{2}x^{2}=4\times\frac{1}{2}\times(\frac{a}{\sqrt{2}})^{2}=a^{2}$ 。那么正八边形面积 $S=S_{正方形}-S_{三角形}=(a+\sqrt{2}a)^{2}-a^{2}=2(1+\sqrt{2})a^{2}$ 。

通过以上方法，只要知道正八边形的边长等关键数据，就能计算出它的面积了。

2025-06-02 14:17:00

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