如何通过柯西不等式将复杂函数转化为可计算的极值形式？

核心思路

柯西不等式（Cauchy-SchwarzInequality）的核心是通过向量内积的性质，将目标函数转化为可分离变量的形式。其标准形式为：

$$(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2\leq(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)$$

当且仅当向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$线性相关时取等号。

解题步骤与示例

1.分析fx的结构

将目标函数$f(x)$拆分为两个向量的内积形式。例如：

$$f(x)=\frac{(x_1+2x_2)^2}{x_1^2+x_2^2}$$

可视为$\mathbf{a}=(x_1,x_2)$，$\mathbf{b}=(1,2)$，应用柯西不等式得：

$$f(x)\leq\frac{(x_1^2+x_2^2)(1^2+2^2)}{x_1^2+x_2^2}=5$$

最小值为5，当且仅当$\mathbf{a}=k\mathbf{b}$时取得。

2.构造辅助变量

对于分式函数，引入辅助变量$t$以分离变量。例如：

$$f(x)=\frac{x^2+4}{x}$$

令$t=x$，则$f(x)=t+\frac{4}{t}$，应用柯西不等式：

$$\left(t+\frac{4}{t}\right)\geq2\sqrt{t\cdot\frac{4}{t}}=4$$

最小值为4，当$t=2$时取得。

3.处理多变量约束

若存在约束条件（如$x_1+x_2=1$），可结合拉格朗日乘数法。例如：

$$\min\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1+x_2}\quad\text{s.t.}\quadx_1+x_2=1$$

代入约束条件后，目标函数变为$x_1^2+(1-x_1)^2$，最小值为$\frac{1}{2}$。

不同函数类型的处理对比

关键注意事项

1. 等号条件：必须验证是否存在$x$使得向量线性相关。
2. 变量范围：需确保变量在定义域内（如$x>0$时分式函数有意义）。
3. 多维扩展：高维问题需构造更高维的向量，但核心逻辑不变。

通过以上方法，可将复杂函数的最小值问题转化为向量内积的极值分析，显著简化计算过程。